f(x) = √(5 − x) の定義域と値域を求めよう。
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解答
定義域は x ≤ 5、値域は y ≥ 0。
平方根の中が 0 以上なので 5 − x ≥ 0。x を小さくすると 5 − x はいくらでも大きくなり、平方根の出力は 0 以上のすべての値を取ります。
PRACTICE & REFLECT
自分の手で、解いてみる。
答えにたどり着くまでの考え方を大切に。解答は、一問ずつひらけます。
関数とグラフ
ノートを読み直す ↗y = −2(x + 1)² + 3 の頂点と最大値を求めよう。
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解答
頂点は (−1, 3)、最大値は 3。
(x + 1)² ≥ 0 だから −2(x + 1)² ≤ 0。x = −1 のときに等号が成り立ちます。下向きの放物線です。
f(x) = 1/x、g(x) = x − 2 のとき f(g(x)) とその定義域は？
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解答
f(g(x)) = 1/(x − 2)、定義域は x ≠ 2。
g(x) の出力を f に入力します。f は入力 0 を許さないため、g(x) = x − 2 ≠ 0 が必要です。
f(x) = x² + 1（x ≥ 0）の逆関数を求めよう。
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解答
f⁻¹(x) = √(x − 1)（x ≥ 1）。
y = x² + 1 を x ≥ 0 の条件で解くと x = √(y − 1)。もとの値域 [1, ∞) が逆関数の定義域です。
極限と連続
ノートを読み直す ↗lim x→2 (x² − 4)/(x − 2) を求めよう。
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解答
4。
x ≠ 2 で (x² − 4)/(x − 2) = x + 2。近くで等しい式の極限を使い、2 + 2 = 4 です。
lim x→∞ (5x + 1)/(x² + 3) を求めよう。
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解答
0。
分子・分母を x² で割ると (5/x + 1/x²)/(1 + 3/x²)。分子は 0、分母は 1 に近づきます。
lim x→0 sin(4x)/(2x) を求めよう。角度はラジアンとする。
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解答
2。
sin(4x)/(2x) = 2 × sin(4x)/(4x)。4x → 0 なので基本極限から 2 × 1 になります。
f(x) = (x² − 9)/(x − 3)（x ≠ 3）を x = 3 で連続にするには、f(3) をどう定める？
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解答
f(3) = 6 と定める。
x ≠ 3 では f(x) = x + 3 なので x → 3 の極限は 6。その値と f(3) を一致させます。
三角関数と周期
ノートを読み直す ↗150° をラジアンに直し、sin と cos の値を求めよう。
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解答
150° = 5π/6、sin(5π/6) = 1/2、cos(5π/6) = −√3/2。
150 × π/180 = 5π/6。第 2 象限で基準角は π/6 なので、sin は正、cos は負です。
y = 3cos(4x) − 2 の振幅・周期・値域は？
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解答
振幅 3、周期 π/2、値域 −5 ≤ y ≤ 1。
周期は 2π/4。cos の値域 [−1, 1] を 3 倍してから 2 引くので [−5, 1] です。
0 ≤ x < 2π で 2cos²x − 1 = 0 を解こう。
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解答
x = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4。
cos²x = 1/2 だから cos x = ±√2/2。符号の両方を考え、1 周の中の 4 点を求めます。
x が実数全体を動くとき、3sin x + 4cos x の最大値と最小値は？
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解答
最大値 5、最小値 −5。
合成した波の振幅は √(3² + 4²) = 5。x の範囲に制限がないので、両方の端の値に到達します。
微分と変化の速さ
ノートを読み直す ↗f(x) = 2x³ − 5x² + 4 を微分し、f′(2) を求めよう。
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解答
f′(x) = 6x² − 10x、f′(2) = 4。
各項を微分し、定数 4 は 0 になります。x = 2 を代入すると 24 − 20 = 4 です。
y = sin(x² + 1) を微分しよう。
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解答
y′ = 2x cos(x² + 1)。
外側の sin を微分して cos、内側 x² + 1 の導関数 2x を掛けます。
y = ln x の x = 1 における接線を求めよう。
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解答
y = x − 1。
ln 1 = 0、導関数は 1/x なので x = 1 で傾き 1。y − 0 = 1(x − 1) です。
f(x) = x² − 4x + 1 の −1 ≤ x ≤ 3 における最大値・最小値は？
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解答
最大値 6（x = −1）、最小値 −3（x = 2）。
f′(x) = 2x − 4 より区間内の候補は x = 2。f(−1) = 6、f(2) = −3、f(3) = −2 を比較します。
定積分と積み重ね
ノートを読み直す ↗∫₀² (3x² + 2x) dx を求めよう。
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解答
12。
原始関数は x³ + x²。[x³ + x²]₀² = (8 + 4) − 0 = 12 です。
y = x − 1 と x 軸の間の、0 ≤ x ≤ 3 における面積は？
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解答
5/2。
x = 1 で符号が変わるため ∫₀¹(1 − x) dx + ∫₁³(x − 1) dx = 1/2 + 2 = 5/2。符号つきの定積分は 3/2 になります。
∫₀¹ 2x e^(x²) dx を置換積分で求めよう。
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解答
e − 1。
u = x² とすると du = 2x dx、上下端は 0 と 1。∫₀¹ eᵘ du = [eᵘ]₀¹ = e − 1 です。
A(x) = ∫₀^(x²) cos t dt の導関数を求めよう。
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解答
A′(x) = 2x cos(x²)。
基本定理と連鎖律を使います。上端を代入した cos(x²) に、上端 x² の導関数 2x を掛けます。
微積分を使いこなす
ノートを読み直す ↗周の長さが 24 の長方形で、面積が最大になる辺の長さは？
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解答
縦・横とも 6、最大面積は 36。
一辺を x とすると隣の辺は 12 − x。A(x) = 12x − x²、A′(x) = 12 − 2x より x = 6。前後で増加から減少に変わります。
0 ≤ t ≤ 2 で速度 v(t) = t − 1 のとき、変位と移動距離を求めよう。
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解答
変位は 0、移動距離は 1。
速度の積分は [t²/2 − t]₀² = 0。移動距離は t = 1 で分け、負の速度の絶対値を取ると 1/2 + 1/2 = 1 です。
y = √x、0 ≤ x ≤ 3 の下の領域を x 軸の周りに回転させた体積は？
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解答
9π/2。
断面積は π(√x)² = πx。V = π∫₀³ x dx = π[x²/2]₀³ = 9π/2 です。
f(x) = x² を [0, 2] で 2 分割する台形公式の近似値を求めよう。
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解答
3（正確な積分値は 8/3）。
Δx = 1、関数値は 0, 1, 4。台形公式から 1 × (0/2 + 1 + 4/2) = 3。曲線が下に凸なので、この場合は過大評価です。