定積分と積み重ね

細かく分けて足すことから、定積分が生まれる

曲線の下の面積は、長方形の面積の公式だけでは直接求められません。そこで区間 [a, b] を細かく分け、それぞれの小区間で関数の高さを一つ選び、「高さ × 幅」を足します。分割を限りなく細かくしたときの和の極限が定積分です。ここでは閉区間で連続な関数を中心に扱います。

式では等間隔に分け、各小区間の右端の高さを選んでいます。連続な関数では、左端や中点を選んでも、幅を 0 に近づければ同じ値になります。積分記号 ∫ は「和」を表す記号の歴史を持ち、dx は x 方向の小さな幅を意識させる記法です。

例えば f(x) = x を [0, 1] で積分すると、Δx = 1/n、右端の高さは k/n です。和は (1/n²)Σk = n(n + 1)/(2n²) となり、n → ∞ で 1/2 に近づきます。これは底辺 1、高さ 1 の三角形の面積とも一致します。

積分の考え方は面積に限りません。速度 × 短い時間を足せば位置の変化量、流量 × 短い時間を足せば流れた体積になります。「小さな寄与をたくさん足し合わせる」ことが共通の考え方です。

定積分は、符号を持つ積み重ね

a < b のとき、f(x) が正の部分は定積分に正の寄与をし、負の部分は負の寄与をします。したがって定積分は、常に図形の面積そのものになるわけではありません。x 軸より上の面積から、下の面積を引いた符号つき面積です。

例えば ∫₋₁¹ x dx = 0 です。左の三角形の寄与 −1/2 と、右の三角形の寄与 1/2 が打ち消し合うためです。しかしグラフと x 軸で囲まれた二つの三角形の面積の合計は 1 です。「積分が 0 だから面積も 0」と解釈しないようにしましょう。

絶対値を積分するときは、関数の符号が変わる点で区間を分けます。負の区間では |f(x)| = −f(x)、正の区間では |f(x)| = f(x) とします。符号の確認をせず、最後に積分値全体の絶対値を取るだけでは、一般に面積は求まりません。

積分区間の向きを逆にすると符号が反転します。この約束により、区間を分けたり向きを変えたりする計算を一貫して行えます。面積問題では通常 a < b にそろえ、「どちらのグラフが上か」を別に確認します。

原始関数と、不定積分の +C

微分すると f(x) になる関数 F(x) を、f の原始関数といいます。例えば F(x) = x³/3 は、微分すると x² になるので x² の原始関数です。定数を加えても微分結果は変わらないため、原始関数は一つに決まりません。

∫ f(x) dx を不定積分と呼び、C は任意の定数です。定積分が区間に対して一つの数を返すのに対し、不定積分は原始関数の集まりを表します。記号は似ていますが、求めている対象が異なります。同じ連結な区間上で二つの原始関数があれば、その差は定数です。

べき関数の公式は、関数が実数として定義される適切な区間で使います。n = −1 だけは分母が 0 になるので別扱いです。1/x の不定積分で絶対値を使うのは、負の x の区間でも原始関数を表せるようにするためです。0 をまたぐ場合は定義域が分かれる点に注意します。

積分の計算ができたら、答えを微分して元の式へ戻るか確認できます。微分では指数を一つ下げ、積分では一つ上げて新しい指数で割る。この対応を公式の丸暗記だけでなく、逆算として捉えましょう。

微積分の基本定理が、面積と微分を結びつける

f が [a, b] で連続なとき、a から x までの積み重ねを A(x) = ∫_a^x f(t) dt とします。x を少し増やしたときに増える面積は、およそ f(x) × 増やした幅です。このことから A′(x) = f(x) が成り立ちます。積み重ねを微分すると、もとの高さに戻るのです。

t は積分の中だけで使う変数です。上端の x と混同しないよう、別の文字で書いています。積分変数を t から u に変えても、積み重ねの値は同じです。上端が g(x) なら連鎖律により d/dx ∫_a^g(x) f(t) dt = f(g(x))g′(x) となります。

さらに f の原始関数を F とすると、A と F は同じ導関数を持つので、その差は定数です。A(a) = 0 を使うことで、定積分を端点での原始関数の差として求められます。これが定積分を効率よく計算する中心公式です。

例えば ∫₁³ 2x dx = [x²]₁³ = 9 − 1 = 8。積分を求めるために、毎回無数の長方形を足す必要はなくなります。定積分の定義と計算方法を結ぶこの定理が、微分と積分を一つの理論にしています。

定積分の性質と、二つの曲線の間の面積

定積分には和と定数倍を分けられる線形性があります。また区間を途中の c で分けても、二つの積分を足せば元に戻ります。この二つの性質は、式の整理だけでなく、関数の符号が変わる問題や区分的な関数を扱うときにも役立ちます。

a ≤ x ≤ b で f(x) ≥ g(x) のとき、二曲線の間の面積は ∫_a^b (f(x) − g(x)) dx です。縦に細く切った部分の高さが「上の関数 − 下の関数」になるためです。上下が入れ替わるときは、交点で区間を分けます。

この区間では x ≥ x² なので直線の方が上です。交点を求めただけでは上下関係は決まりません。中間の点を代入するか、差の符号を調べましょう。

対称性も使えます。f が奇関数なら、連続な範囲で ∫_−a^a f(x) dx = 0。偶関数なら 2∫₀^a f(x) dx です。例えば sin x は奇関数ですが、|sin x| は偶関数です。定積分と図形の面積では、どの関数を積分しているかが変わります。

置換積分は、変数を変えて形をそろえる

合成関数の微分を逆向きに使うのが置換積分です。f(g(x))g′(x) の形が見えたら u = g(x) と置くと、g′(x)dx が du に対応し、簡単な積分になります。定積分では、変数を変えたら積分の上下端も新しい変数の値に変えます。

例えば ∫₀¹ 2x(x² + 1)³ dx では u = x² + 1 と置きます。du = 2x dx に対応し、x = 0 のとき u = 1、x = 1 のとき u = 2 です。したがって ∫₁² u³ du = [u⁴/4]₁² = 15/4 となります。

du = 2x dx は変数の変化率を記録する便利な記法です。単に文字だけを入れ替えるのではなく、幅も変わる点が重要です。2x の因子を無視して ∫(x² + 1)³ dx を同じように積分することはできません。

三角関数の置換でも、角度はラジアンです。新しい変数で計算したら、定積分では新しい上下端を使い、不定積分では最後に元の x へ戻します。両方の流儀を途中で混ぜないようにしましょう。

端に特異点がある積分は、極限から考える

これまでの定積分は、主に閉区間で連続な関数を対象にしました。端点で関数が定義されなかったり、値が限りなく大きくなったりする場合には、その点を避けて積分したあと、端へ近づける極限を考えます。これを広義積分といいます。通常の定積分の公式を無条件に当てはめないことが大切です。

1/√x は 0 に近づくほど大きくなりますが、積分値は有限の 2 に収まります。高さが無限大へ向かうというだけで、面積まで必ず無限大になるとは限りません。どのくらいの速さで大きくなるかが関係します。

一方、1/x は同じ端点で発散するだけでなく、積分値も無限大になります。関数の見た目が似ていても結果は異なります。一般に ∫₀¹ x^−p dx は p < 1 のとき有限で、p ≥ 1 のとき発散します。べき関数の原始関数と極限から確認できます。

区間の途中に特異点がある場合は、その左右を別々の広義積分として調べます。例えば ∫₋₁¹ 1/x dx は、左右の積分がそれぞれ発散するため、通常の広義積分としては存在しません。対称に切り取れば打ち消し合うという計算は、別の概念である主値に当たり、通常の積分が収束することを意味しません。

部分積分と、積分による平均値

積の微分 (uv)′ = u′v + uv′ を整理して積分すると、部分積分の公式が得られます。積になっている式の片方を微分し、もう片方を積分することで、元より簡単な積分へ移す方法です。

例えば ∫₀¹ xeˣ dx は、u = x、v′ = eˣ と選びます。すると u′ = 1、v = eˣ なので [xeˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = e − (e − 1) = 1。x を微分して次数を下げることで簡単になります。

積分は、連続的に変わる量の平均を求めるときにも使えます。区間の長さで積み重ねの合計を割ると、関数の平均値です。区間 [a, b]、a < b で次のように定義します。

x² の [0, 2] での平均値は (1/2) × [x³/3]₀² = 4/3 です。端点の値の平均 (0 + 4)/2 = 2 とは異なります。値が直線的に変わらない場合、端点だけから区間全体の平均は分かりません。

連続な f なら、その平均値と等しい高さ f(c) を持つ c が区間内に少なくとも一つ存在します。曲線の下の符号つき面積と同じ面積を持つ長方形を考えると、積分と平均の関係が視覚的にも理解できます。

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まずは紙とペンで考えてから、解答をひらいてみましょう。