単位円の基本
cos²θ + sin²θ = 1
単位円上の点の座標は (cos θ, sin θ)。
THE FORMULA SHEET
考えるための、道具箱。
公式を覚えるだけでなく、使える条件と意味も一緒に確かめましょう。
三角関数
角度は弧度法（ラジアン）で扱います。
正接
tan θ = sin θ / cos θ
cos θ ≠ 0 のとき。
加法定理
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
余弦の式では符号が逆になることに注意。
2倍角
sin 2θ = 2 sin θ cos θ
cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2 sin²θ
cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2 sin²θ
加法定理で α = β = θ とおく。
度とラジアン
180° = π rad
弧の長さ s = rθ。微分公式はラジアンが前提。
微分
関数が微分可能な区間で使います。
べき関数
(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹
n が正の整数ならすべての実数 x で成立。一般の実数 n では x > 0 など、関数が定義される区間で考える。
積・商
(fg)′ = f′g + fg′
(f/g)′ = (f′g − fg′) / g²
(f/g)′ = (f′g − fg′) / g²
商の微分では g ≠ 0。
合成関数
[f(g(x))]′ = f′(g(x)) · g′(x)
外側を微分して、内側の微分を掛ける。
三角関数
(sin x)′ = cos x
(cos x)′ = −sin x
(tan x)′ = 1 / cos²x
(cos x)′ = −sin x
(tan x)′ = 1 / cos²x
x はラジアン。tan x は cos x ≠ 0。
指数・対数
(eˣ)′ = eˣ
(ln x)′ = 1/x
(ln x)′ = 1/x
ln x は x > 0。
接線
y = f(a) + f′(a)(x − a)
点 (a, f(a)) を通り、傾きが f′(a)。
積分
不定積分の C は任意定数。定積分では原始関数の差を取ります。
べき関数
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
n ≠ −1。実数べきの場合は定義される区間で。
逆数
∫ (1/x) dx = ln|x| + C
x ≠ 0 の一つの区間で考える。
三角関数・指数
∫ sin x dx = −cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ eˣ dx = eˣ + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ eˣ dx = eˣ + C
求めた式を微分すれば確認できる。
微積分の基本定理
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
f が [a,b] 上で連続で F′ = f のとき。
置換積分
∫ab f(g(x))g′(x) dx = ∫g(a)g(b) f(u) du
連続性・微分可能性を満たすとき。置換後は積分区間も変える。
部分積分
∫ab u v′ dx = [uv]ab − ∫ab u′v dx
u,v が連続な導関数を持つとき。積の微分から導く。
幾何学的面積
S = ∫ab |f(x)| dx
a ≤ b。x 軸より下の部分も面積は正。符号が変わる点で区切る。