微積分を使いこなす

文章を数式に変える、四つの段階

応用問題では、計算を始める前に「何を変数にするか」と「何を求めるか」を整理します。①変数と単位を決める、②条件を式にする、③微分や積分で調べる、④答えを元の状況で解釈する。この順序を守ると、計算が正しくても場面に合わない答えを避けられます。

例えば面積を最大にする問題なら、目的となる面積を A(x) と表します。長さが正である条件から x の範囲を求め、必要なら別の長さを x で表して変数を一つにします。導関数を 0 にするだけでなく、範囲内か、最大か、端点はどうか、という確認までが一つの解答です。

単位は式の誤りに気づく手がかりになります。速度を時間で積分すると (m/s) × s = m となり長さです。面積を求めたいのに最終式の単位が m しかなければ、掛ける長さや積分の幅を落としている可能性があります。

周の長さが一定の長方形で、面積を最大にする

周の長さが 20 の長方形を考えます。一辺を x、隣の辺を y とすると 2x + 2y = 20 なので y = 10 − x。長さは正だから 0 < x < 10 です。面積を一変数の関数にすると A(x) = x(10 − x) となります。

0 < x < 5 では A′ > 0、5 < x < 10 では A′ < 0。したがって x = 5 で面積は最大になり、y = 5、最大面積は 25 です。周の長さを固定した長方形では正方形が最大の面積を持つ、と結論できます。

この例は平方完成でも A(x) = 25 − (x − 5)² と解けます。微分で得た結論を別の方法で確認できると理解が深まります。微分の利点は、三次式や指数関数など、平方完成だけでは扱いにくい目的関数にも同じ方針を使えることです。

もし壁を一辺として使い、残り三辺だけに長さ 20 の柵を張るなら、制約は 2x + y = 20 に変わります。A(x) = x(20 − 2x) なので x = 5、y = 10 が最適です。同じ「長方形の最大面積」でも、文章の条件が違えば関数も答えも変わります。

速度の積分と、移動距離の違い

一直線上の運動で、位置を s(t)、速度を v(t) = s′(t) とします。速度の定積分は終点と始点の位置の差、つまり変位です。一方、実際に進んだ道のりである移動距離は、速さ |v(t)| を積分して求めます。

0 ≤ t ≤ 3 で v(t) = 2t − 2（m/s）としましょう。t = 1 で速度が 0 となり、その前は負方向、その後は正方向へ動きます。変位は [t² − 2t]₀³ = 3 m です。

移動距離は向きに関係なく足すため、0 から 1 では −v(t)、1 から 3 では v(t) を積分します。前半は 1 m、後半は 4 m なので合計 5 m。終点が始点より 3 m 先にあっても、途中で引き返しているので道のりは 5 m になります。

速度のグラフを見ると、x 軸より下の部分が負方向の移動を表します。面積問題と同じ符号の考え方です。加速度 a(t) が分かる場合は、まず積分して v(t) = ∫a(t)dt + C を作り、初速度から C を決めます。さらに積分して位置を求めるなら、初期位置も必要です。

断面積を積み重ねて、立体の体積を求める

立体を x 軸に垂直な薄い板に切り分け、位置 x における断面積を A(x) とします。厚さ Δx の板の体積はおよそ A(x)Δx。その和の極限が体積になります。面積を高さとして積分する、と捉えれば、平面の面積と同じ積み重ねの発想です。

y = f(x) ≥ 0 のグラフと x 軸の間の領域を x 軸の周りに回転させると、断面は半径 f(x) の円になります。円の面積は πf(x)² なので、体積はその定積分です。

例えば y = x、0 ≤ x ≤ 2 の下の三角形を x 軸の周りに回すと、半径 2、高さ 2 の円錐になります。V = π∫₀² x² dx = 8π/3。これは円錐の公式 (1/3) × π × 2² × 2 と一致します。

外側の半径が R(x)、内側の半径が r(x) の空洞があるなら、断面は円環になり、A(x) = π(R(x)² − r(x)²) です。π(R − r)² としてはいけません。円の面積をそれぞれ計算して引きます。

回転体では、グラフの高さをそのまま「半径」と呼べるか確認しましょう。回転軸が y = 1 などに変われば、半径は軸からの距離になります。図を簡単に描き、断面の形と寸法を先に確かめることが大切です。

原始関数が見つからなくても、積分値は近似できる

連続な関数でも、原始関数を基本的な式で表せない場合があります。例えば e^−x² の不定積分は、初等関数だけでは表せません。それでも区間を細かく分ける積分の定義に戻れば、定積分の値を近似できます。データの表しか分からない場合にも数値積分が使えます。

左端や右端の高さで長方形を作る方法に加え、隣り合う二点を直線で結んで台形の面積を足す方法があります。等間隔 Δx = (b − a)/n、x_k = a + kΔx とすると、台形公式は次の形です。

f(x) = x² を [0, 1] で 2 分割すると、Δx = 1/2。台形公式は (1/2) × (0/2 + 1/4 + 1/2) = 3/8 = 0.375 です。正確な値 1/3 より大きいのは、下に凸のグラフを結ぶ線分が曲線の上側に来るためです。

連続関数では、分割の最大幅を 0 に近づければ近似値は定積分に収束します。ただし、分割を一度増やすたびに誤差が必ず小さくなるとは限りません。有限回の計算結果には誤差があります。小数の桁がたくさん表示されても、そのすべてが正確とは限りません。分割数を変えて値の安定性を確かめたり、関数の滑らかさから誤差を評価したりします。

微分と積分を、問題に合わせて選ぶ

微分は「いま、どのくらい変わっているか」を調べる道具です。接線、速度、増減、最大・最小、近似に向いています。積分は「一定の区間で、どれだけ積み重なったか」を調べる道具です。面積、変位、流れた量、体積、平均に向いています。どちらを使うかは、式の形より、求めたい量の意味から判断します。

積分だけでは元の量の絶対的な値は決まりません。変化率を積分して分かるのは差であり、初期値があって初めて位置や残量が確定します。逆に微分すると定数の情報が消えます。この対応は、微分と積分が逆の関係にあることを具体的に示しています。

解答を点検するときは、①定義域と条件を守っているか、②符号と単位が妥当か、③極値なら前後や端点を調べたか、④面積や距離なら負の部分を正しく扱ったか、⑤積分結果を微分して戻せるか、を確認しましょう。複雑な計算でも、この基本の確認は有効です。

一つの問題を複数の見方で捉える練習も役立ちます。二次関数の最大値を平方完成と微分で求める。三角形の面積を幾何と積分で求める。正弦波のグラフと導関数のグラフを対応させる。別々に覚えた公式がつながると、初めて見る問題にも考え方を持ち込めるようになります。

理解が曖昧になったら、公式を増やす前に「関数」「極限」「瞬間の変化」「小さな量の和」という四つの考えに戻ってみましょう。微積分の多くの計算は、この少数の考え方を精密に使うことで説明できます。

CHECK YOUR UNDERSTANDING

理解を確かめる

まずは紙とペンで考えてから、解答をひらいてみましょう。